Kwadratowa pizza dla pięciu osób

Nie pamiętam gdzie to wpadło mi w oko, zapewne na G+: podział kwadratowej pizzy na pięć równych części. „Równych” znaczy tu „o równych powierzchniach”.

Utrzymując punkt C w środku (w centrum) i przypominając uczniom jak mierzy się pola trójkątów można prosić nawet najbardziej humanistycznych z nich, by w podobny sposób zaproponowali podział kwadratowej pizzy dla 3 osób, dla 7, albo dla jakiejkolwiek innej ich liczby. I będzie wtedy trochę wysiłku odtwórczego (czemu to udało się dla 5?) i twórczego (jaka to zasada, by przetworzyć jej użycie na inne liczby?)

Reklamy

31 thoughts on “Kwadratowa pizza dla pięciu osób

  1. Hmm.. Nie jestem co prawda ściślok, ale od razu zacząłem się zastanawiać nad wersją 3D.

    A gdyby nasz kucharz okazał się ciut odważniejszy i upiekł pizzę w kształcie sześcianu (w wersji beta: naszemu kucharzowi, zamiast „sześciennej pizzy”, wyszła po prostu wielka kula ciasta) – i jak tu podzielić ją między gości?

    Może więc po prostu pokroić sześcian poprzecznie na pięć części? Niestety – problem w tym, że brzegi wyszły kucharzowi najsmaczniejsze, a bliżej środka zakalec, więc żeby było sprawiedliwie, każdy musi dostać po równo – zarówno ze środka, jak i przypalonych brzegów (każdy z gości ma dostać tej samej sraczki i tego samego rozstroju żołądka, więc cięcia muszą iść przez sprawiedliwie przez środek).

    Załóżmy teraz, że pizza wyszła kucharzowi kulista. Przy dwóch, czterech lub ośmiorgu gościach sprawa wydaje się banalna (tniemy przez środek wzdłuż odpowiednio jednej, dwóch lub trzech osi), ale co, gdy gości miało być czterech, ale jeden zachorował (lub: wprosił się dodatkowy gość) – i naszą (kulistą) pizzę trzeba podzielić odpowiednio na trzy lub pięć kawałków?

  2. Tu muszę zaprotestować przeciw nazywaniu gigantycznej pyzy pizzą. I stanowczo wolę pyzę sześcienną niż pyzowatą, bo przy dzieleniu jej kawałków na piramidki (a nie jak u płaskiej pizzy na trójkąty) problem będzie w podzieleniu (mam nadzieję, że jednak nie przypalonych) brzegów – stanowiących 6 kwadratów – na 5 uczciwie równych podstaw owych pyzo-piramidek. No to każdy dostaje jedną opartą na pełnym kwadracie, a rozwiązanie z obrazka pomaga w podzieleniu szóstej kwadratowej bazy na pięć równych polami kawałków.

    A sraczka nie w pyzie ani w pizzy a w brazylijskim mięsie. Ten skandal z przerabianiem zepsutego mięsa i drobiu na mortadele i kiełbasy dotyczy czterech wielkich firm: Perdigão, Sadia (czyli: zdrowa), Frigoboi i Seara, mających famę dobrych marek – a przypuszczalnie wiele innych też pójdzie pod dokładny nadzór. Ciekawe, że jasno i niedwuznacznie Policja Federalna stwierdza, że gigantyczne oszukiwanie konsumentów możliwe było dzięki łapówkom dla polityków z PMDB i PP – czyli partii, które były w koalicji z partią Dilmy ale postanowiły same sobie rządzić w Brazylii. Niemniej ciekawe jest, że pan prezydent jeszcze nie ogłosił, że całe to dochodzenie to intryga opozycji i tylko zapewnia Rosję, że brazylijskie mięso jest cudownie smaczne. Myślę, że argentyńscy hodowcy turlają się ze szczęścia, lepszego a przedwczesnego prezentu od Św. Mikołaja dostać nie mogli.

  3. ale jak podzielić sześcienną na 5 kawałków tak żeby każdy dostał porcję w jednym kawałku?

  4. Fajne. Ale może lepiej jest mieszkać daleko od wynalazców takich rzeczy. Oczywiście wiedźmy nie istnieją, ale na wszelki wypadek.

  5. @nightwatch
    Właśnie o takim rozwiązaniu jak przedstawiono na filmie myślałem. Tylko nie dla sześcianu, a dla pyzy – ale właściwie co za problem odpowiednio wygładzić brzegi? (Wystarczy parę topologicznych sztuczek i z sześcianu mamy kulę). Naturalnie pomarańczę można by, jak mówisz, pociąć wzdłuż jednej osi, ale przedstawione na filmie rozwiązanie jest o tyle kuszące, że nie wyróżnia żadnego kierunku!

  6. Zupełnie naiwnie i z głupia frant.
    A gdyby tak na 20 prostokątów podzielić (cztery sznyty w jedną, pięć w drugą)? I każdemu po cztery prostokąty? Naturalnie leżące obok siebie, żeby było w kawałku?
    Nie wiem, ale i kawałki będą całe i powierzchnia równa a chyba tak brzmiało zadanie.

  7. Oczywiście to by był równy podział ale strasznie to bliskie podania na talerzu pre-żutego dania. Godność pizzy w jej jedności.

  8. Matematycy od dawna mają chyba jakiś problem z pizzą: http://gizmodo.com/mathematicians-have-found-crazy-new-ways-to-cut-pizza-i-1751776752
    Włoscy mistrzowie kuchni wyrażają oburzenie i stanowczo protestują.

    A co do kwadratowej pizzy (właściwie prostokątnej): na początku lat 90-tych miałem wątpliwą przyjemność spróbować takiego wynalazku. Sprzedawano toto zamrożone i przeznaczone do odgrzania w kuchence mikrofalowej, przy czym odgrzewało się głównie na brzegach. Smakowało tak, jak wyglądało, czyli niespecjalnie (kwadratowa pizza była naturalnie made in Poland, produkował to cudo zapewne jakiś Benex Gastropol).

  9. A czy słyszałeś już o pizzy na metry? Spotkałem ją w mieście Itu w interiorze stanu São Paulo. Miasto średniej wielkości (170 tys. mieszkańców), napisanie w google’u „Itu SP” od razu ujawnia ich manię wielkości, bo pojawia się obrazek nadwymiarowej budki telefonicznej. Prawdą jest, że „itu” w języku miejscowych Indian znaczy „wielki” i to pojawia się w wielu nazwach geograficznych, ale ich pomysł propagandowy wziął się z jakiegoś żartu w tv Rede Tupi w latach 50-tych i zaczęli sławić miasto, że tam wszystko jest wielkie. Najczęstsze pamiątki z Itu to półmetrowe długopisy (nie, bez obrazka JPII) – no i pizzerie sprzedają pizzę na metry. Wąska, chyba 30 cm, ale rzeczywiście można sobie zamówić parę metrów pizzy.

  10. Półmetrowe długopisy – to dobre, szczególnie do podpisywania istotnych przetargów, ale jak bez JPII to nie bierę.
    Nawiasem mówiąc, warto by zamówić z Brazylii trochę tych długopisów (naturalnie z drobną modyfikacją, wprowadzającą jakieś elementy sacrum) i zacząć sprowadzać do Lichenia – sukces murowany. Plus te zamówienia dla administracji…

    BTW.
    Skoro już rozmawiam z matematykiem – pytanie… Wideo zapodane przez @nightwatcha bardzo ciekawe (podział sześcianu na trzy identyczne, niewyrózniające żadnego kierunku, elementy – cięcie nie wzdłuż wyróżnionej osi, tylko z centrum). Zastanawiam się, czy dałoby się (teoretycznie) uogólnić to cięcie na kulę (bo w praktyce to raczej na pewno, po prostu „na chama” wygładzając kanty – w końcu sześcian i kula są topologicznie równoważne). No i czy da się w podobny sposób pokroić 3-sferę (z koniecznością wyróżnienia centrum, OFC)? Ot, taka ciekawostka dla freaków.

  11. Owo wideo zdumiewa mnie nie mniej niż laika. Ściślej: rozumiem dlaczego jest możliwość takich dziwnych rzeczy (biorąc oś przez dwa najbardziej oddalone od siebie kanty mamy trzykrotną symetrię z okręcaniem sześcianu wokół niej, więc chyba bawiąc się nią ów człowiek pokroił całość) ale przypuszczam, że tego typu wyobraźnia przestrzenna częstsza jest u ludzi z czymś nieco dziwnym w głowie (vide pan George Odom) niż u zwykłych płaskich matematyków.

  12. No faktycznie – dopiero teraz zauważyłem tę symetrię (od patrzenia na to cudo mózg najwyraźniej podzielił mi się na trzy części)! Czyli gdybyśmy tę strukturę wygładzili, to nadal będziemy mieli wyróżnioną oś obrotu.

    Ech, trzeba było grać w Minecrafta – to podobno rozwija wyobraźnię przestrzenną…

  13. A skoro już widzisz trójkową symetrię z kręceniem wokół tej osi to jesteś już o mały kroczek od zobaczenia, że płaszczyzna prostopadła do niej i przechodząca przez środek sześcianu wycina na jego brzegach regularny sześciokąt – i na początek to wydaje się bardzo dziwne, potem normalne, a po jakimś czasie oczywiste. I wtedy można już wygłaszać tyrady o tzw. humanistach, którzy tego nie widzą.

  14. można prosić nawet najbardziej humanistycznych z nich

    Ha! Trójkąty dobre, ale własność Darboux lepsza bo tak samo pracuje dla dowolnej liczby konsumentów, i to przy DOWOLNYM C we wnętrzu, choć kawałki mogą wyglądem zaboleć.

    Ciekawe, gdzie leżą C wymagające wypukłości kawałków?

    Odpowiedź: Nie wiem.

  15. tichy, nie wiem jak będzie z użyciem własności Darboux do pizzy, ale fajnie, że znów jesteś i to nie ukrywany ksywkami, które wymuszał Blox.

  16. Punkt C wewnątrz (wypukłej) figury P jako środek obrotu, z dowolnym punktem poczatkowym na obwodzie. Pole jest ciągłą funkcją kąta obrotu (może byc mierzone długością odciętego fragmentu obwodu).

    Mamy m smakoszy i pole a. Istnieje obrót z Wł.D-x dla którego pole wynosi a/m.
    Następny obrót o kąt, dla którego pole wynosi a/m. Repeat da capo al fine.

    Pytanie o wypukłość odciętych kawałków ma podłoże czysto praktyczne. Otóż, przed Wigilią co się robi? Lepi się pierogi. Dobrze przekonac małe dzieci do pomocy.

    Tylko że…. Wycinając kółka szklanką w rozwałkownym placku, przy dochodzeniu do brzegu dostaje się kawałek za mały na pełne kółko,ale dostatecznie duży na ulepienie pieroga. Trochę trudniej, bo może mieć to nietypowy kształt.

    No, to jedno dziecko płacze, bo nie umie sobie poradzić ze zlepieniem brzegów. A drugie się cieszy z dumą – „a ja mam całe kółko!” Ale za chwilę to pierwsze woła – „o, ja mam motylka, a ty nie”! No i znów płacz, tylko na odwrót.

    Więc, optymizacja nieodzowna – tak wycinać kółka na pierogi, by do „motylków” nie dopuścić, bo to.casus belli.

  17. No, ten problem z wypuklościa rozwiązałem – już wiem (przy wypukłości,oczywiście).. W dowolnej przestrzeni, dla n-kółki, nawet dla \infty-kółki. Ot, Tw.Hahna-Banacha.

    Sorry, że zaśmiecam.

  18. @tichy
    zastanawiałem się chwilę jaki był ten problem z wypukłością ale nie wyszło – nie wiem…
    co to jest „C” ?
    i jak wycinanie kółek ma się do krojenia placka na trójkąty?

  19. @tichy
    Nic nie zrozumiałem, może jakiś hint dla „chómanistów”? Czy chodzi o arbitralne wyznaczenie środka placka („C”), obliczenie jego pola („a”) i wykrawanie z niego równych (powierzchniowo) porcji linijką do pomiaru kątów, począwszy od linii C-dowolny punkt brzegu?

    https://f36i.imgup.net/polef609.png (sorry za bazgroły)

    Rozumiem, że przy bardzo nieregularnej powierzchni placka czy pizzy kąty do wykrawania sprawiedliwego podziału wcale nie musiałyby być sobie równe (np. Kowalski dostałby 180 stopni od linii C-granica placka, Nowak 120, a Paździoch 60) – i wszyscy mieliby równe pole powierzchni swojego kawałka, choć każdy kawałek miałby różny kształt.

    Przy w miarę regularnej powierzchni (np. okrągła, kwadratowa czy elipsoidalna pizza/placek) – OK, oznaczenie C nie będzie problemem. Ale jak wyznaczysz środek przy nieregularnej (wypukłej) powierzchni placka-ciasta z wypustkami to tu, to tam? Chyba, że C określimy arbitralnie („chcę ciąć od tego punktu”), ale jak wtedy obliczysz, jaki kąt wykroić dla pana Kowalskiego, a jaki dla Nowaka, żeby żaden się nie zdenerwował że sąsiad zje więcej?

  20. @nightwatch

    „Co to jest C?”

    Vide obrazek andsolowy, a także „bazgroły” @znowu_ja za linkiem.

    Wspólny wierzchołek dla wszystkich KAWAŁKÓW (vide tekst andsola).

    A trójkąty – to tylko techniczny fragment dowodu. Jak poprowadzisz dodatkowe odcinki, łączące ów wspólny dla wszystkich KAWAŁKÓW wierzchołek C z punktami na obwodzie,zaznaczonymi przez andsola mini-kreseczkami, wliczając również wierzchołki kwadratu, to zobaczysz, że każdy z pięciu kawałków składa się z czterech trójkątów o równym polu. Ponieważ podstawa każdego pomocniczego trójkąta wynosi 1/5, zaś wysokość 1/2, zatem pole jest równe [podstawa razy wysokość dzielone przez 2, czyli (1/5 * 1/2)/2=]1/(5*4). Teraz, razy 4 – i widać, że każdy KAWAŁEK ma pole 1/5.

    I też widać, że tak samo pracuje toto dla dowolnej liczby zjadaczy pizzy kwadratowej, gdy owe centrum (stąd też C) leży w środku geometrycznym kwadratu.

  21. @znowu_ja

    Kontynuując w/w…

    Skoro dla środka geometrycznego C to takie łatwo, nasuwa się kilka pytań.

    A co będzie jak wspólny wierzchołek C wszystkich kawałków nie leży w środku geometrycznym?
    A co będzie jak figura nie jest kwadratem?
    A w 3 wymiarach (objętość zamiast pola powirzechni tym razem 3D kawałka)?

    Twój obrazek i komentarz celnie toto ilustruje (oprócz przypadku 3D).

    Kolejność jest taka:

    I. Wybieramy C gdzieś w figurze.
    2. Kroimy na kawałki o równym polu (definiujemy toto jako podział sprawiedliwy) – kąt o wierzchołku C wycina z figury odpowiedni kawałek.

    To co ja podałem, to EGZYSTENCJALNY dowód istnienia podziału sprawiedliwego. To łatwe (powiedzmy).

    Ty zaś zapytujesz się o KONSTRUKTYWNY DOWÓD (e.g., jak przy danym C wyznaczyć te sprawiedliwe kąty). To trudniejsze.

    Dla figury wypukłej – nie takie trudne W istocie chodzi o sytuację, gdy każda półprosta wychodząca z punktu C przecina obwód w dokładnie jednym punkcie. Takie zbiory nazywają się „zbiorami gwiaździstymi”, ang. „starlike”. Każdy zbiór wypukły jest gwiaździsty.

    Wychodząc poza zbiory wypukłe, pewne punkty C mogą zapewniać gwiaździstość, inne – nie (popatrz na swoje „bazgroły”, jak za bardzo C przesuniesz w „wypustkę”, to dostaniesz wielokrotne punkty przecięcia z obwodem, przez co „kawałek” składałby się z wielu kawałków).

    Na wyraźne żądanie mogę zapodać algorytmiczną konstrukcję pożądanych kątów sprawiedlwych, ale owa potrzebuje współrzędnych biegunowych, całek podwójnych, nie daj Boże Jakobianów, itp. paskuctwa. Zbyt daleko od poczciwych trójkątów andsolowych.

  22. @tichy
    Dzięki.

    „Na wyraźne żądanie mogę zapodać algorytmiczną konstrukcję pożądanych kątów sprawiedlwych”

    Broń Boże! Chómanista jestem. Z mojej strony na razie dość, bo czuję, że mój żołądek zaczyna domagać się pizz i ciast o różnych kształtach (w celu wykonywania eksperymentów z podziałem, ofc), a co za dużo, to niezdrowo.

  23. Będąc z powrotem:
    ależ Andsolu, ja przecież wcale nie proponowałem aby podzielić tę pizze na kawałeczki jeno na pięć prostokątnych części. Cztery z nich miały by mieć wymiary 2/4a x 2/5a, a jeden a x 1/5a.
    Co w tym, przepraszam, przeżutego?

  24. Masz rację, proponowałeś, coś mi się źle Ciebie zinterpretowało. Myślałem, że chcesz pociąć na „20 sznytów” i każdemu po 4 prostokątne i osobne kawałki wydzielić.

  25. No cóż, może to „moje” rozwiązanie nie jest specjalnie intelektualnie rozpasane, ale z drugiej strony spróbuj człowieku zastąpić nóż i widelec czymś sensowniejszym i bardziej wyrafinowanym. Niby ewentualnie można nawet próbować, ale z drugiej strony to niby po co? Nie wiem, może ktoś wie? Jeśli tak, to byłbym wdzięczny za odpowiedź i nie jest to sarkazm.

    Ten post o pizzy, a w zasadzie rezonans nań skłoniły mnie do refleksji nad teraźniejszą rzeczywistością i tym jak na nią reagujemy. Bardzo interesujący fenomen.

  26. Życie jest pełne niespodzianek i nie wszystkie są miłe. A może to jakiś żart w nieznanej mi konwencji? Albo źle zaadresowane przesłanie? Tak czy inaczej, drzwi są zamknięte tylko dla trolli. Inni przychodzą gdy tylko chcą. I gdy przychodzą, są mile widziani.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s