Potęgi, sumy, różnice

W tabelce sum i różnic niedużych potęg liczb 2 i 3 przeważają liczby pierwsze.

Ich obfitość może zaskoczyć jeśli uświadomimy sobie, że wśród liczb złożonych (mających stanąć w pustych miejscach) przeważają wielokrotności liczby 5 – zresztą, to miłe (bo nieoklepane) ćwiczenie, by analizując reszty z dzielenia potęg 2 i 3 przez 5 wykazać, że sumy i różnice zaznaczone w następnej ilustracji są właśnie podzielne przez 5:

A jak wyglądają te same informacje z pierwszej tabelki jeśli ustawić je w kolejce coraz większych liczb pierwszych, mniejszych od 100?

Nie, nie wszystkie liczby pierwsze pojawiły się tu. Brakuje dwóch, 53 i 71. Ale potęgom liczby 3 nie przypisujemy żadnej magicznej własności, ciekawe jest czy można zastąpić je potęgami jakiejś innej liczby pierwszej. No, owszem:

A jeśli przekroczyć granicę 100, czy taki rozkład nadal będzie możliwy?

Dane eksperymentalne (do otrzymania jednolinijkowymi nakazami gdy używa się pakietu pari-gp) idące dość daleko sugerują, że tak, ale nie będę straszył czytelnika liczbami pierwszymi mającymi więcej niż 3 cyfry. Dla zainteresowania powinno wystarczyć rozszerzenie takiej tabelki do 300 (a jak to jeszcze nie zainteresowało, to podnoszenie poprzeczki chyba niewiele pomoże):

Ale… Nie tylko względy estetyczne skłaniają mnie do wniesienia poprawek. W istocie chciałbym wykorzystywać tylko dodawanie potęg 2 – i to przynajmniej tak dużych jak mieszczą się w rozkładanej liczbie pierwszej. I okazuje się, że nadal udaje się spełnić te nowe wymogi dla rozważanych liczb (ponownie rozbijam dane na tabelki z liczbami pierwszymi do 100 i do 300):

I teraz mogę już sformułować hipotezę, która wydaje mi się (na podstawie przeprowadzonych eksperymentów) sensowna, ale nie mam pojęcia jak by było z jej dowodzeniem: rozsądnie łatwe (przy znajomości wszelkich współczesnych wyników teorii liczb), całkiem trudne czy też wręcz nie do uszczknięcia.

Hipoteza. Weź liczbę pierwszą p>3. Niech 2n będzie najwyższą potęgą liczby 2 taką, że 2n<p. Istnieje wykładnik m (równy n lub większy) i pewna liczba pierwsza q taka, że jakaś dodatnia potęga q dodana do 2m (lub odjęta od niej) daje sumę (lub różnicę) wynoszącą p.

Efektem tych liczbowych zabaw jest i inna hipoteza o podobnym charakterze, ale może ona poczekać do kolejnego wpisu na tym blogu.

Reklamy

12 myśli na temat “Potęgi, sumy, różnice

  1. a jak pierwszość liczby pierwszej po lewej stronie ma sie do pierwszości liczby pierwszej po prawej?
    tzn czy jest to jakiś rodzaj relacji między liczbami pierwszymi?
    czy raczej ogólnej – tzn że gdyby liczba po lewej nawet nie była pierwsza to i tak można ją złożyć z jakiejś potęgi liczby pierwszej i potęgi dwójki?

  2. No nie, szukanie zależności między tymi pierwszymi to już trochę za dużo dobrego. Tak, jak hipoteza jest wyrażona, mówi coś takiego: siatka otrzymana z potęg dwójki oraz potęg różnych liczb pierwszych jest dostatecznie gęsta, by chwycić wszystkie liczby pierwsze.

    Składanie wszelkich innych liczb nieparzystych wedle tej recepty jakoś mnie nie zainteresowało 🙂

  3. mnie też nie tylko zastanowiłem się dlaczego siatka ma łapać akurat liczby pierwsze, tzn skąd wynika że ta siatka taka dobra akurat dla liczb pierwszych. No ale może rzeczywiście lepiej najpierw sprawdzić czy w ogóle działa a potem zgadywać dlaczego akurat tak.

  4. Oj, oj. Często w naukach ścisłych pytanie „dlaczego” jest ścieżką w chaszcze metafizyki. Lepiej trzymać się tego bawoła zwanego „jak”.

  5. oj, drążyli chyba w każdej możliwej kombinacji, ale czas to uciąć bo noc idzie

  6. No właśnie, drążyli i to od wieków, ale przede wszystkim szło o taki wariant bez minusów – i tam nie mam nic do dodania ani ujęcia. Tylko do opowiedzenia, że w połowie XIXw. Polignac przedstawił tę uwagę:

    Théorème II. Tout nombre impair est égal à une puissance de 2 plus à un nombre premier. (Vérifié jusqu’à 3 millions.)”

    Ale sto lat później to się zakołysało i padło, a Erdős nawet skonstruował postępy arytmetyczne w pełni rozmijające się z owym stwierdzeniem.

    Nawiasem, artykuł Gallaghera jest poza publicznym zasięgiem i gdybyś chciał jego kopię, chętnie podeślę Ci pdf-a.

    (Względy estetyczne dotyczą dla mnie tylko potęg dwójki – powinny one być nie za małe w stosunku do otrzymywanej liczby pierwszej i siatka potęg dwójki jest odnośnikiem, od nich można biegać w lewo i w prawo, ale bez lustrzanego odbijania jej w zerze).

  7. oj, nie, samo myślenie o twierdzeniach tego rodzaju jakoś mnie trudzi, dużo bardziej niż geometria czy funkcje na liczbach rzeczywistych.No bo jak to ugryźć, żadne metody laicko-zdroworozsądkowe nie działają, przez analogię do natury się nie da, może trzeba by spróbować dokształcić się ale to trudzi jeszcze bardziej niż myślenie.

  8. Bardzo ciekawa interpretacja graficzna liczb inteligentnych, bo tak osobiście nazywam liczby pierwsze, które nie chcą się dzielić z nikim. Andrzej

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

w

Connecting to %s