Jeszcze trochę dużych liczb

Repunits spotyka się tylko bawiąc się matematyką. Tak, bawiąc się – pojawiły się 52 lata temu w książce „Recreations in the Theory of Numbers”. Łatwo zgadnąć co ta nazwa opisuje, „repetycje jedynek” czyli liczby z tego ciągu

11, 111, 1111, 11111, 111111,…

Nieuchronnie padło pytanie które z nich są liczbami pierwszymi i ile ich jest. To, że znaleziono niewiele przypadków liczb pierwszych (z ilością jedynek równą 2, 19, 23, 317, 1031 – są jeszcze trzy inne podejrzane, ale niesprawdzone liczby) nie przeszkadza wysuwaniu podejrzeń, że jest ich nieskończenie wiele. Zajmuje się nimi tylko paru entuzjastów z równie rozentuzjazmowanymi komputerami. I dodam tylko, że widać gołym okiem, że jeśli liczba jedynek jest złożona, to otrzymana repunit też jest złożona; zilustruję to przypadkiem 12=3×4:

111111111111=
111×1000000000+
+111×1000000+
+111×1000+
+111×1=
=111×(1000000000+1000000+1000+1).

Zabawne, że gdy z notacji w systemie dziesiętnym przejdziemy do systemu dwójkowego (jedyne cyfry to 0 i 1), ujawnia się tłum osób zainteresowanych tymi repunits, które są liczbami pierwszymi, nawet jest program łączący je, nazywa się GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Tak, 2n-1, liczba Mersenne’a w tym zapisie ma właśnie n jedynek.

Ale mnie ciekawi jak często dodanie 2n do wybranej uprzednio liczby pierwszej tworzy inną liczbę pierwszą. I tu z częstością dobrego wyboru bywa bardzo różnie. Na przykład jeśli zacząć od p=7, to (utrzymując n poniżej tysiąca) jest 24 dobrych przypadków:

n = 2 4 6 8 10 16 18 20 28 30 38 44 78 88 98
126 160 174 204 214 588 610 798 926

a nawet 25 ich dla p=29:

n = 1 3 5 7 9 13 15 17 23 27 33 37 43 63 69
73 79 89 117 127 239 395 409 465 837.

Ale dla p=47 jest bardzo skromny wybór, n to tylko 5 lub 209. Następny przypadek to 1049, a kolejny to przypuszczalnie 8501. Mówię „przypuszczalnie”, bo mój komputer rozważa to nieprzyzwoicie długo, a potrzebuję go także do innych działań. Można jego (komputera) ospałość zrozumieć, bo 28501+47 ma ponad 2550 cyfr, czyli trzeba całej strony, żeby ją zapisać.

A więc jakichś imponujących danych eksperymentalnych (coś typu: p do miliona, n do 100 tys.) nie przedstawię tu, ale co mi z komputera wyszło, zachęca do przypuszczenia, że w każdym przypadku p będzie tego nieskończenie wiele. Czyli ma jakieś oparcie w danych taka

Chyba-hipoteza. W zapisie dwójkowym postaw najpierw p a potem zdecyduj ile chcesz co najmniej zer po jej lewej stronie. Zawsze uda się wstawić niemniejszą liczbę zer a na początku (po lewej) jedynkę tak, by otrzymana liczba była pierwsza.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s