Znowu dwie kozy i samochód

Uwagi, które mi nasunęło czytanie książki „Dziwny przypadek psa nocną porą” (Mark Haddon dostał niemało nagród za nią) chyba nie były tak ważne, skoro nie znalazły przez parę lat drogi do bloga, ale wreszcie jedna z nich, matematycznego charakteru, trafi tu. Pierwotnie miało być tylko zacytowanie zręcznego przedstawienia, w jaki młody bohater książki objaśnia paradoks Monty’ego Halla, ale teraz będzie więcej niż cytat, bo mam coś od siebie do powiedzenia.

Przedtem zużyję akapit czy dwa na przypomnienie w czym rzecz, bo harmider wokół podanego przez Marylin vos Savant rozwiązania zanikł w minionych 31 latach, a rzecz była w trochę nieoczekiwanym naświetleniu przez nią logicznej (czy matematycznej), znanej już wcześniej zagadki. Udział biorą w niej prezenter, gość, dwie kozy i jeden samochód. Kozy i samochód stoją w pomieszczeniach ukrytych za bramkami, gość wybiera bramkę, ale zamiast pokazać, co gość wybrał, wiedzący co gdzie stoi prezenter otwiera inną bramkę, ujawniając kozę. Mam nadzieję, że wiernie oddałem treść zwrotu (jest to dla mnie, i jak się okaże, dla wpisu, bardzo ważne) pani vos Savant, brzmiącego

You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat.

Prezenter pyta gościa czy chce zmienić wybór bramki – i gwóźdź pokazu jest w tym czy zmieniajac wybór gość ma większe prawdopodobieństwo trafienia na samochód.

Intuicja rzekomo mówi, że i tak szanse są pół na pół (mówię „rzekomo”, bo znając historyjkę można odmienić sobie intuicje), przedstawiająca problem oznajmiła, że zmieniając swój wybór gość podnosi prawdopodobieństwo trafienia samochodu na 2/3 – i wydaje się, że tysiące listów z protestami (nierzadko dość gwałtownymi) miały dwie przyczyny, ale o tym za chwilę, po pokazaniu rozwiązania, które podaje młody bohater książki (przepraszam, że nie po polsku, książkę mam tylko w oryginale; ale angielski nie powinien być utrudnieniem dla zrozumienia argumentu).

Prawda, że ładne i proste?

A protesty miały podkład tak psychologiczny jak i językowy. Psychologiczny jest zapewne w Polsce bardzo zrozumiały. Wprawdzie Marylin vos Savant lekce sobie ważyła przypisywany jej współczynnik inteligencji 228, przekonując o nieadekwatności takich liczbowych etykietek, ale rozsławiony „IQ228” i tak kłuł w oczy wielu. Ponadto, nie miała dyplomu ze statystyki czy matematyki, więc jak ona śmiała. Gruntowanie cnót niewieścich, czyli zamykanie w trójkącie „Kinder, Küche, Kirche” jest znane w wielu społeczeństwach i radośnie napada się na kobiety wychodzące z niego.

Podkład językowy jest nieco subtelniejszy. Otóż jej sformułowanie (powtarzane w nieprzeliczonych artykułach relacjonujących ów problem) jest – delikatnie mówiąc – niezbyt staranne; kto zdecyduje użyć ostrzejszego przymiotnika, będzie miał pewne racje, bowiem gdyby nie ta niestaranność, uniknięto by wysokiej temperatury dyskusyjnej i przepracowania amerykańskiej poczty. Albowiem nietrudno jest dostrzec, że obie strony miały swoje racje, które (niestety) nie zostały jasno przedłożone.

Przepraszam za chwilkę nudzenia matematycznym żargonem, lecz to on pozwala uniknąć bałaganu. Chodzi mi o przestrzeń zdarzeń.

Można by było użyć słowa „zbiór”, ale jeśli ktoś jest alergiczny na matematyczne zwroty, to i tu dostanie dreszcze. A przestrzeń zdarzeń jest uświęcona użytkami. Więc chodzi o to ile mamy tu zdarzeń? Pozornie trzy, gość: wybiera pierwszą kozę, wybiera drugą kozę, wybiera samochód. I wtedy rozwiązanie z tabelki zamyka sprawę, prawdopodobieństwo otrzymania samochodu przy zmianie opcji wynosi 2/3.

Ale niestaranność wysłowienia, o której wspomniałem, mieści się w pominięciu opisu jak prezenter wybiera kozę jeśli gość wskazał bramkę z samochodem.

I jeśli ma on tę swobodę wyboru, przestrzeń zdarzeń ma 4 elementy i tylko w dwóch z nich zmiana opcji prowadzi do otrzymania samochodu:

Żeby nie marnować czasu na produkcję tabelek, literami P i G oznaczam prezentera i gościa, wytłuszczone sa, k1, k2 to wybór samochodu, pierwszej kozy, drugiej kozy, a plus znaczy, że zmiana opcji prowadzi do wybrania samochodu. I mamy zestawienie czterech możliwości z naszej przestrzeni:

G k1 P k2 +

G k2 P k1 +

G sa P k1

G sa P k2

Więc jeśli matematycy (wszelakich płci) myśleli o dowolności działań prezentera gdy może ujawnić jedną z dwóch kóz, mieli rację, że prawdopodobieństwo przy zmianie bramki to 1/2, a nie 2/3.

To nie znaczy, że nieoczekiwane elementy opowieści znikają w tym ujęciu, wręcz odwrotnie. Działania prezentera mogą być od początku ustalone (ustawienia algorytmu) po części i wtedy otrzymane prawdopodobieństwo może być wyrażone różnymi liczbami od 1/2 do 2/3. Więc co powinien robić nic o algorytmach nie wiedzący gość, by zbliżyć się do odjazdu samochodem, a nie odejścia z kozą?

Wyjaśniają to trzy końcowe uwagi.

Zerowa uwaga: koza ma też swój urok.

Pierwsza uwaga: powyższe opisy to modele, a nie rzeczywistość. Wiedząc nieco więcej o rzeczywistości (np. o istnieniu lub nieistnieniu jakichś wbudowanych w grę algorytmów) łatwiej jest coś doradzić, ale na ogół przy zmianie nie zjeżdża się poniżej prawdopodobieństwa 1/2.

Druga uwaga: mówienie o prawdopodobieństwie przy pojedyńczym zdarzeniu to niezbyt rozsądny zwyczaj. Modele probabilistyczne mówią o seriach zdarzeń przeprowadzanych w niezmieniających się warunkach. Dużych seriach. Dwieście. Albo pięćset miliardów. No dobrze, milion z ogonem. A te warunki to trudna sprawa w przypadku dwóch kóz, może wypicie dużej kawy przed pokazem skłania gościa do wybierania środkowej bramki?

5 myśli na temat “Znowu dwie kozy i samochód

  1. ale czy ma znaczenie (w Twoim scenariuszu z czterema mozliwościami) którą z dwóch kóz wybierze prezenter gdy uczestnik wybrał samochód? Wg mnie oba warianty oznaczają dokładnie to samo zdarzenie, tj nie ma tam dwóch zdarzeń tylko jedno. W żadnym przypadku decyzja prezentera nie powinna zmieniać prawdopodobieństwa (bo prezenter nie ma decyzji do podjęcia – zawsze musi jakąś kozę pokazać i nie ma znaczenia którą)

  2. Właśnie o tym jest ten wpis. Scenariusz nie jest mój, a pani vos Savant, a piszę o tym, że rachunki zależą od tego jak rozumieć jej zwrot ‚the host […] opens another door’. Owszem, ta interpretacja zmienia rachunek, bo mamy dwa odmienne modele z dwoma odmiennymi przestrzeniami zdarzeń. Przy istnieniu jakiegoś ustalonego pierwotnie algorytmu (którego gość nie jest w stanie się domyślić), prezenter w istocie nie odgrywa już roli. W drugim wypadku, i gdy gość wybrał samochód, wskazanie przez prezentera pierwszej czy drugiej kozy tworzy równoważne (dla majątku gościa), ale nie identyczne zdarzenia.

  3. Gość na początku ma 1/3 szansy na samochód i 2/3 szansy na kozę. Losuje.
    Ale później, gdy prezenter odsłoni mu jedną kozę, może zmienić swój wybór.
    W efekcie odwraca dokonany wybór (jeśli była koza to zamieni ją na samochód, a jeśli to był samochód to zamieni go na kozę). Czyli zmieniając wybór ma 1/3 kozy i 2/3 samochodu, a prezenter nie ma zupełnie wpływu na rezultat. Przynajmniej ja nie widzę tego wpływu.
    Ale gdyby ‚another door’ oznaczało że prezenter może odsłonić zarówno kozę jak i samochód (i decyzja należy do niego) to wtedy jego praca stała by się bardzo niebezpieczna.

  4. Prezenter nie ma wpływu na (jakościowy) rezultat, ale ma (przy jednej z interpretacji sposobu otwierania bramek) wpływ na to, z którą z kóz zostanie gość, jeśli samochód postanowi zamienić na kozę. Być może gość by był identycznie rozczarowany, ale dla kóz to by były zupełnie inne życiowe losy, czyli zdarzenia z pewnością nie są te same.

  5. Niedawno czytałem artykuł na temat dokładnie tej historii (nie pamiętam gdzie) ale ów artykuł podkreślał nieprzyjemności jakie spotkały panią vos Savant głównie z męskiej strony środowisk naukowych w związku z tym że przedstawione przez nią wyniki były trudne do zaakceptowania dla niektórych autorytetów. Nie potrafię stwierdzić czy rzeczywiście chodziło o płeć czy ogólnie o nie posiadanie odpowiednich tytułów akademickich żeby polemizować z autorytetami. Ale mam wrażenie że mogło też chodzić o jeszcze coś innego – niecodziennie ludzie przedstawiają się nazwiskiem ‚Savant’ i wynikiem testu IQ

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s