Jedna z atrakcji liczb pierwszych leży w tym, że po wybraniu jakiejś p i zgromadzeniu liczb naturalnych (od zera!) mniejszych od niej można tam wykonywać wszystkie cztery operacje arytmetyczne: przy mnożeniu bierze się resztę z dzielenia przez p, a dzielenie okazuje się odmianą mnożenia. Jednak wydaje się, że ustawienie liczb na kółku w tych operacjach nie pomaga.
Ale czasami można wpleść do takiej arytmetyki geometrię i załączony obrazek ujawnia, że udaje się to dla liczby 19. Czy jest ona wyjątkiem? O tym następnym razem (chyba nie ma pośpiechu?), wybór jej uzasadnia estetyka, nie jest ona ani za duża, ani zbyt mała, a oswojenie się z nią ułatwi przemyślenie innych przypadków. A obrazek w istocie jest tabelką rachunkową dla wszystkich 4 operacji arytmetycznych, czyli pozwala uniknąć dzielenia wyników przez 19 i sprawdzania jaka wyszła reszta.
Chyba nie ma potrzeby wyjaśniać który sześciokąt jest podstawowy, bo siedzi on jak kura na grzędzie, a z pozostałych użyteczne są tylko ich kawałki.
Dodawanie i odejmowanie to działania na strzałkach, wychodzących od zera (zaznaczanego na czerwono, choć może zero nie zasługuje na to). Dolny szkic ma ułatwić dzielenie, pokazuje jak połączyć liczby w pary wzajemnie odwrotne. Ten układ ma swoją urodę i jest łatwy do szybkiego sprawdzenia, np. 3×13=1+2×19, czyli dzielenie przez 3 to mnożenie przez 13 i vice versa. Oczywiście 1 oraz 18=-1 są same do siebie odwrotne.
Jak używamy tabelki do mnożenia? Mnożenie liczby a przez liczby z kręgu bliskiego zeru, czyli przez liczby
1,8,7,18,11,12
to obrócenie a przez stosowny kąt. A kąt taki mierzymy od stojącej po prawej stronie liczby 5 do zera i potem skręcając do mnożnika. Na przykład mnożenie przez 11 to okręcanie podstawowego sześciokąta o 4×60°, więc 13 przemnożone przez 11 wyląduje na liczbie 10. (Chcesz sprawdzić? Zdrowy obyczaj. 11×13=143, odejmij 10, zostanie 133, liczba podzielna przez 19 czyli 0).
A mnożniki leżące na zewnętrznym kręgu w podstawowym sześciokącie można rozłożyć na sumę dwóch z kręgu wewnętrznego, b=c+d i zgodnie ze znanym prawidłem arytmetyki zastąpić ab przez ac+ad.
Na przykład, jak wymnożyć 6×15? Skoro 15=7+8, sumuje się 6×7 oraz 6×8, czyli 4+10=14.
Tytuł wpisu jest angielski (brzmi to krócej i bardziej tajemniczo, kto wie, może hexagon ma związki z die Hexe?), ale tekst jest polski, więc powinienem przygotować się na polskie reakcje. Obu typów: a) „to nie ma sensu i do niczego nie służy” oraz b) „każde dziecko w szkole potrafi to zrobić”. Więc na wszelki wypadek wdam się w parę fachowych wyjaśnień.
Liczba 19 została potraktowana jako zespolona i to wewnątrz pierścienia Eisensteina (wygenerowanego przez ω, trzeci pierwiastek z 1). Tam rozkłada się 19=(5+2ω2)(5+2ω). Te czynniki są w tym pierścieniu nierozkładalne, czyli każdy z nich generuje ideał maksymalny, więc pierścień ilorazowy jest ciałem i wszystkie operacje arytmetyczne są wykonywane jak dla liczb zespolonych i sprowadzenie wyniku do obszaru fundamentalnego odpowiada wyborowi reszty z dzielenia przez 19.
Czyli rzeczywiście dziecko może to zrobić, już po pierwszym kursie uniwersyteckiej algebry. Czy dziecko ma ochotę na zrobienie czegoś podobnego dla liczby 31?
Migotanie słów 
Fascynujace, tym niemniej, ehm, nie powiem żebym wszystko zrozumiała. Ale 6×15 najłatwiej wyliczyć jak się wie ze godzina ma 60 minut.
moje wewnętrzne dziecko poddaje się. Ale jest wdzięczne za ten trzeci pierwiastek z jedynki – nie wiedziało że liczby mogą być jeszcze bardziej urojone