Choć niewdzięczny wybór trasy chodzi mi po głowie. Kto jest przekonany, że grupy są wielkie i cenne, objedzie mnie, że od banalnego zegara z 12 znaczkami zaczynam. A przecież o wiele szlachetniejsze były zaczątki teorii grup przed ćwiartką tysiąclecia. Kto ceni urok definicji rozpoczynających rozmowy, obruszy się jak późno i niestarannie aksjomaty tu się pojawią.
A w ogóle, przecież każde dziecko wie co to jest łączność, bo w szkole tego uczą, a jak ktoś na (ab)c=a(bc) się wykrzywia to tępak lub mateista (a matematyczni ateiści nauki tej nie znają, znać nie chcą lub w jej wielkość nie wierzą. Czyli niedobrzy ludzie).
Co mi tam. Zegar tu leży, lecz zamiast 12 ma 0, bo to łatwiej spamiętać, że po przejściu przez to miejsce znowu liczenie od 1 się zaczyna. I choć nie jest to najkrótszy cykl, z którym od dziecka się spotykamy (cztery pory roku nawet w muzyce są znane), dobry jest właśnie dlatego. Bo gdyby na kółku były tylko 0,1,2,3 (dla mnie zima oczywiście to cholerne zero), trudno by tu było o ciekawe ruchy.
A na zwykłym zegarze łatwo jest zauważyć, że zaczynając gdziekolwiek i skacząc po 5, dotrze się do wszystkich godzin. Jeśli to dla Ciebie jest oczywiste, wybacz mówienie o tym, jeśli nie, to zacznij np. od 0 i jak to pójdzie? 0, 5, 10, 3, 8 itd. I w kociokwik by szybko wpadł człowiek gdyby skakał po 3 (np. 0,3,6,9,0….) albo po 4 (tu bu było 0,4,8,0,…).
Wyjaśnienie tych cykli jest proste: 12=22×3 i żeby dotrzeć wszędzie długość skoku nie może mieć wspólnego dzielnika ani z 2 ani z 3. Czyli zostają tu 1, 5 i liczby do nich przeciwne (czyli 11 dla 1 i 7 dla 5). I te liczby wytwarzają (czy odtwarzają, jeśli wolisz) cały cykl, którego długość to 12.
I dla dodania wagi tak tematowi jak i sobie, od razu wprowadzimy naukowe nazwy, żeby było jasne, że to teoria grup, a nie zegarmistrzostwo. Taki cykl nazwie się grupą cykliczną, stojące tam elementy, gdy swymi powtórzeniami całą ją przebiegają, nazwie się jej generatorami i mamy prostą drogę do uwolnienia się od tuzina. Mamy zbiór liczb, jest w nim 0 (element neutralny dodawania) i wszystkie elementy z tego zbioru można wygenerować jednym elementem (to znaczy dodając go do siebie) lub przebiegając nim zbiór w odwrotnym kierunku (czyli używając elementu odwrotnego, – zamiast dodawania używając odejmowania).
Choć jesteśmy na bardzo, ale to bardzo elementarnym poziomie gawędy, już tu pojawia się subtelny haczyk, ukryty w słowie można. Dlaczego „można”, a nie „trzeba”?
No to wróćmy do zwykłego zegara. Zamiast generatora {1} czy {5} (te wąsy to „zbiór zawierający…”) tę samą grupę da się wygenerować używając na przykład zbioru {4, 9}. Albo {2,3}. Oczywiście zawsze będziemy szukać najbardziej szczupłych zbiorów generatorów, ale widać w tych przykładach, że tych zbiorów generatorów nie da się pomniejszyć. Więc nasza grupa cykliczna z 12 elementów – bardziej naukowo: grupa cykliczna rzędu 12, ze ślicznym symbolem (Z12,+) – może być wygenerowana przez różne minimalne zbiory elementów. I wśród nich są zbiory jednoelementowe.
Może wydawać się to dziwne, ale jest tu i drugi godny uwagi problem, i to nie haczyk, a haczydło. Bo przyjmując taką definicję szybko zauważamy, że opisuje ona także zbiór wszystkich liczb całkowitych, gdy działaniem jest dodawanie. To jest zbiór wygenerowany przez {1}. Jest on nieskończony i żadnego kółka z niego się nie zrobi.
Więc decyzja o przyjęciu pewnego typu definicji kieruje do akceptowania tworów nic nie mających wspólnego z początkową intuicją cyklu, czyli biegania po kółku. Co robić z tym tworem (Z,+), przyjąć do rodziny grup cyklicznych czy nie?
Przyjąć, przyjąć. Przy matematycznym stole wszyscy się pożywią.
No i co z tym teraz robić? Pisać dalej czy nie? Uwierz, to nie jest pytanie typu „czy mnie kochacie?” Jeśli jest choć jeden zainteresowany czytelnik, będzie ciąg dalszy. Oczywiście para (czy paru) jest jeszcze lepsza. Tłumu na tym blogu nigdy nie będzie – zresztą co ja bym z nim czy w nim robił – ale wiara w istnienie czytelnika jest istotniejsza niż wiara w … e tam, mniejsza o porównania. Więc (chwilowo) to by było na tyle.
Migotanie słów 
Pisać, oczywiście. Nawet jeśli wszyscy już mają zegarki elektroniczne z cyferkami zamiast blatu.
Przypomniałeś mi dyskusję którą miałem jakiś czas temu z kilkoma informatykami. Mieli oni w firmie za zadanie wygenerować dużą liczbę kodów do zdrapek czy czegoś w tym rodzaju, chodziło o to żeby to były duże, losowe liczby i nie powtarzające się. Opracowali program który je losował, a potem sprawdzał czy czasem już ta sama liczba nie padła wcześniej. Problem tam był taki że kodów były miliony i zrobił się z tego całkiem pokaźny projekt informatyczny. A gdyby tak, zamiast zatrudniać wielki komputer, użyli tego ruchu zegarowego na jakiejś dużej liczbie pierwszej to mieli by odpowiedź od ręki.
Wierna i wdzięczna czytelniczka pozdrawia i prosi o jeszcze
Jasne, że pisać. Matematyka jest pełna formalnych definicji, ale wyrobić sobie z nich tzw. intuicje jest trudno. A tu się startuje z całkiem innej strony.
Warto pisać — zwłaszcza że omawiając siłę grupy można dotrzeć do pierścienia, a te — jak wiadomo — miewają magiczne moce 😉