Obiecanki to nie cacanki

Przed paru dniami – a dokładnie to 25 grudnia – napisałem na fb:

Dobry dzień na cudy, na przykład ten znany matematykom:

i to by był koniec sprawy, potraktowanej przez jednych jako abstrakcyjny żart, a przez innych niezauważonej, ale dorzuciłem tam komentarz brzmiący tak:

W wolnej chwili wyjaśnię (niewierzącym, niedowiarkom i matematycznym agnostykom) czemu to takie cudowne, ale prawie wsiadam już do samochodu, więc za parę dni.

Przez to prawie żart stał się obietnicą i teraz muszę wyjaśniać w czym rzecz.

Najłatwiej przypomnieć czemu był to dzień dobry na cudy. Choć co tu do wyjaśniania, (podobno) prawie wszystkie Polki i wszyscy Polacy są religijni, więc wiedzą, że dwadzieścia parę wieków temu właśnie tego dnia narodził się z matki dziewicy bóg, a imię jego to Mitra.

A czemu ten zapis z wężykiem nazwałem cudem? Gdybym powiedział „oto wzór na kwadraturę logarytmu” byłoby poprawniej, ale znacznie nudniej. I nawet nie wiem, które z tych słów (wzór, kwadratura, logarytm) najbardziej śmieszy, tumani czy przestrasza, ale to by się dobrze nie skończyło.

Tu będzie całkiem inaczej, bo to się nie skończy, bo to bardzo długa historia. I jeśli zacznę ją od antycznej Grecji to nie dlatego, by to było konieczne, ale dlatego, że mogę.

Rzecz w używaniu liczb do mierzenia.

Wydaje się, że w znanych kulturach najpierw liczono, nie mierzono, ale to nie ma znaczenia, bo właśnie zaczynam od Grecji. Jeśli gdzieś ewolucja matematyki przeskakiwała liczenie, może wiedza o tym psułaby jej naiwny ogląd („najpierw pojęcia były proste, potem mniej, a potem coraz bardziej skomplikowane”), ale rzeczywista ewolucja matematyki ma wiele przypadków i wypadków. Na przykład, niewiele brakowało, by kiedyś Hindusi opracowali teorię liczb zespolonych (jak to mówi brazylijskie porzekadło, mieli marmoladę i ser w ręce), a grassmaniany były w druku ale przez kilkadziesiąt lat nikt o nich nie czytał. Więc mój opis nie jest historyczną dokumentacją ewolucji, a szeregiem uwag sugerujących, że sprawy są teraz w miarę proste, ale dawniej nie zawsze takimi były.

Kłopot mam już od początku, ze słowem „liczenie”. Chodzi o przeliczanie, a nie o rachowanie. Czy to jest rozróżniane w podstawówce? Z pewnością w uczącej po angielsku, bo jedna sprawa to count, a zupełnie inna to calculate. Więc zaczynamy od stawianiu czegoś (powiedzmy: stołków) jeden za drugim i przeliczamy je od pierwszego do ostatniego. A jak dorzucimy ich nieco w linii, nie musimy zaczynać przeliczania od początku, bo umiemy dodawać.

Po prawdzie, to też może być skomplikowane. Zdumiało mnie kiedyś, że wielu dzieciom dobrze by zrobiła nie tabliczka mnożenia, a dodawania, bo po wielu godzinach oglądania tv dodanie 8 do 17 może przekraczać ich umysłowe obyczaje. Niestety, zrozumienie bywa zgniecione zapamiętanym bez zrozumienia młotkiem zwanym „zapis dziesiętny”.

Tu, w naszym towarzystwie, nikt nie ma tych kłopotów, a zapewne są wspomnienia tego, że jak tych stołków nazbierało sie za dużo, zamiast dodawać ustawiało się je w grupy, na przykład po osiem w każdym rzędzie i potem zliczamy ile jest rzędów (żaden stołek nie stoi luzem? To ułatwia doświadczenie). I od dodawania przeszliśmy do mnożenia.

A przy okazji, do zdumiewającego skoku z arytmetyki do geometrii. Narysuj kółka zastępujące owe stołki, powiedzmy, że masz prostokąt z upakowanymi trzema rzędami po siedem kółek – no i proszę, masz liczbę „podłużną” (czy „prostokątną”) 21. A jeśli rzędów jest tyle, co kółek w każdym z nich, nazwiesz liczbę „kwadratową” – i ten obyczaj przetrwał do dzisiaj (całkiem jak cieszenie się z urodzin Mitry), tyle, że dziś nie mówimy, że 25 to „liczba kwadratowa”, a krócej „kwadrat” (niekiedy zapamiętane jako „kwadraty idealne”, choć nieznane są w matematyce kwadraty nieidealne). Pełne utożsamienie pewnych liczb z tworami geometrycznymi.

Wydaje się, że to były pomysły ludzi skupionych wokół Pitagorasa (szósty wiek p.n.e.). Z czasem o „liczbach podłużnych” zapomniano ale wypełnianie płaskich figur kółkami czyli badanie liczb figuralnych było poważnie traktowane. Potem przestało być ważne przez ponad 2 tysiące lat, a później znowu okazało się, że jest w tym pomyśle wiele rzeczy godnych uwagi. Niestety dział matematyki obejmujący związane z tym wyniki nazywają obecnie kombinatoryką, co nie zachęca do traktowania ich poważnie, ale mniejsza o to. Ważniejsze jest zauważenie, że była w tym zdumiewająca idea, by liczby (utworzone do przeliczania) użyć do mierzenia obszarów.

Nie doprowadziło to daleko, i myśląc o liczbach trójkątnych (wypełnij trójkąty od dołu pomniejszającymi się rzędami kółek, najmniejszy trójkąt zmieści 3 z nich, większy 6, kolejny 10 itd.) widzimy dlaczego. Pomysł, by mierzyć obszar trójkąta liczbą wciśniętych doń kółek nie zgadza się z tym co sugeruje krawieckie przetworzenie (bardzo w duchu greckiej geometrii) dwóch połączonych ze sobą identycznych trójkątów (jeden z nich obrócony, otrzymaną figurkę przytnij z jednej strony, dolep to z drugiej).

Późniejsze o dwa wieki prace Eudoksosa coś tym wczesnym próbom zawdzięczają („metoda wyczerpywania” czyli wypełniania figur innymi, prostszymi jest krewną owych kółek), ale robią wszystko dużo zgrabniej i prowadzą do bardziej imponujących wyników. Na przykład do wymiernego przybliżania liczby nazywanej dziś pi (czyli radzenia sobie z kwadraturą koła) czy bardzo niebanalnego wyniku Archimedesa z kwadraturą paraboli. Nawiasem, ten ostatni wynik – czy coś mu równoważnego – otrzymuje dziś student wpisujący kawałek paraboli do kwadratu o boku 1 umieszczonego na początku układu współrzędnych i całkujący x² od 0 do 1.

Aha, szukanie średniej geometrycznej to też problem kwadratury: mam prostokąt o bokach c, d – jak znaleźć długość boku kwadratu, który ma miarę pola tę samą co i początkowy prostokąt.

Przy okazji, nauka (w postaci dowodu niewymierności liczby φ) wykończyła filozofię Pitagorasa opartą na przekonaniu, że każda para zjawisk jest w takiej wewnętrznej relacji jak pewna para liczb, ale te przekonania nigdy nie zostały w pełni zatarte. Na przykład gdy mówimy, że pani Świątek gra dwa razy lepiej niż pani X, chodzi nam o to że stosunek ich gier jest taki jak między liczbami 2 i 1. Albo gdy mówimy, że Jasiu ma IQ 127 a Kaziu 114, chodzi nam o to, że głowa Jasia ma się do głowy Kazia tak jak liczba 127 do liczby 114.

Mijają wieki i do grona niepokojących liczb, takich jak √5 czy pi, dochodzi e. To z powodu logarytmu. Ta wspaniała maszyna tak wydajnie zastąpiła mnożenie przez dodawanie, że w 17 wieku wiele wydawnictw przestało publikować biurokratyczne druki i Biblię a oddały się w pełni drukowaniu tablic logarytmicznych. Wątpię czy uczą dziś w szkołach co to jest cecha i mantysa logarytmu, ale zdolność radzenia sobie z nimi była przez długi czas tak cenna jak dziś umiejętność posługiwania się smartfonem.

Ową liczbę można opowiedzieć w różne sposoby, także geometrycznie. Wykres logarytmu zależy od przyjęcia jego podstawy, ale zawsze przechodzi przez poziomą oś w miejscu 1. Jeśli baza to 10, wykres już po przejściu przez ten punkt jest przypłaszczony, jeśli baza to 2, podnosi się ostrzej. A e to ta baza, przy której wykres przecina oś x-ów pod kątem 45°.

Przedstawianie sobie tych zjawisk graficznie, jako krzywe, zawdzięczamy Kartezjuszowi. Nie, on nie wymyślił współrzędnych, te używano od wieków. On powiązał procesy matematyczne (nieszczęśliwie nazywane funkcjami) z krzywymi na płaszczyźnie.

I gdy tworzono najróżniejsze krzywe, nie mające – jak owe znane ze starożytności parabole, hiperbole i inne – pochodzenia geometrycznego, pojawił się też problem opisania pól ograniczonych przez owe krzywe. Wielu matematyków w 17 wieku nawróciło do dawnych pomysłów Eudoksosa, ale tak teorię jak i praktykę tego przedsięwzięcia (dla rozwiązania problemów fizyki) opracował Isaac Newton. Po prawdzie, przez długi czas stosowanie tego było boleśnie skomplikowane, ale parę pokoleń genialnych i pracowitych ludzi (np. Euler, Gauss, Cauchy, Weierstrass – proszę zauważyć jaki rozrzut po krainach, z których się wywodzili) sprawiło, że te wyliczenia są wykonalne przez każdego, kto wdał się w studiowanie rachunku różniczkowego i całkowego.

No i doszedłem do punktu wyjścia. Mam na płaszczyźnie figurę z dołu ograniczoną odcinkiem (leżącym na osi x-ów od miejsca 1 do miejsca e), w końcu jego odchodzę do góry na wysokość 1 i biorę przykrywkę wspinającą się od punktu początkowego do końcowego tak, jak każe funkcja logarytm przy podstawie e. I udaje się kwadratura tego obszaru, mierzy on dokładnie 1.

Zastrzeżenie. Tekst tego typu i tej długości, umieszczony na blogu tuż przed Świętem Hałasu, nie może mieć zbyt wielu czytelników. Ale jest pewien sposób, by szanse na to powiększyć. Otóż mogę dodać parę zdań, które sprawią, że Gazeta Wyborcza tekst przedrukuje. Mogą to być takie zdania:

Wielu matematyków uważa, że pomyślna kwadratura kształtów tak niespodziewanych i złożonych jest dowodem na istnienie Boga. Szukanie doskonałości w kwadraturze czyli w jedności, równej swemu kwadratowi i nawet sześcianowi, wydaje się wpisane w ludzkie geny i oczywiście należy się zastanowić kto to w nasze geny wpisał.

Poczekam parę tygodni na reakcję redakcji GW. Jak przedrukują, to świetnie. Jak nie, usunę później te zdania i starannie się wyprę ich autorstwa.

Uff. Udało mi się bez rysunków.

Reklama

10 myśli na temat “Obiecanki to nie cacanki

  1. (żart)
    A ponieważ Bóg zawiera w sobie pierwiastek rzeczywisty i urojony, więc można go zapisać liczbą zespoloną np. 42+i.

  2. Najwyraźniej urojone nie są w niczym gorsze od rzeczywistych, a nawet lepsze bo łatwiej się spakować w bagaż podręczny. Nie trzeba od razu leczyć farmakologicznie.
    A co do kwadratury tego logarytmu – patrzę na wykres i nie udaje mi się. W ogóle mam problem z logarytmem naturalnym, no bo e zupełnie jest nienaturalne. No i jeszcze ten Euler – czemu akurat litera e? Taki Pitagoras do liczby PI roszczeń nie wysuwał…

  3. .. a jeszcze ta definicja e – podejrzana ta liczba. (no i zobaczmy co się pojawi na ekranie)

    \int_{1}^{e} 1/x = 1

  4. Pojawiło się, ale zjadło dx. Ja to rozumiem, u mnie owady nawet liście chrzanu podjadają.

  5. @nightwatch: z powodu upału myślenie mi idzie powoli, ale doszło. Podany przez Ciebie wynik zasługuje na nazwę kwadratura hiperboli i może służyć za (jeszcze jedną możliwą) definicję liczby e.

    Chyba warto zilustrować sytuację obrazkami (z gnuplot oraz xfig). Drobne wyjaśnienie dla osób nie mających częstego współżycia z tymi tworami: powiązania nie są dziś tak dziwne, bo wiemy, że pochodna (opis prędkości przebiegu) ln x to właśnie 1/x; ponadto po zmianie układu współrzędnych, mało prawdopodobnej w starożytności, hiperbola (krzywa z punktów mających stałą różnicę odległości od dwóch uprzednio wybranych punktów) zapisuje się zgrabnie równaniem xy=1.

    Obrazki.

  6. „Powoli” jest względne, np ostatni bliższy kontakt całkowaniem logarytmów miałem chyba jeszcze w zeszłym wieku, i wtedy może nawet wiedziałem skąd się wzięło e. Ale teraz to już nie wiem co jest definicją a co tylko jej konsekwencją, a powiązania wydają mi się zaskakujące i nieoczywiste bo już zdążyłem zapomnieć reguły wiążące jedno z drugim. No i liczyłem też że z jakiejś prostej obserwacji geometrycznej będzie wynikać że pole pod krzywą wynosi 1, ale to chyba nie takie proste.

  7. Wychynę z loży podglądaczy by podziękować za te smakołyki – zajadam się od czasów Poincarego fenomenalnego przyrządzonego przez Gospodarza.

    Jeżeli mogę sobie pozwolić na nic nie wnoszący komentarz – polecam wszystkim kanał na YT pt. Zacznijmy od zera autorstwa Tomasza Millera.

    A tobie, Polski Rynku Wydawniczy, hańba żeś nie skusił andsola na kilka(naście/ tomów popularyzatorskich. O matematyce jest tak mało pozycji strawnych dla laików, że szkoda każdego talentu w tej dziedzinie.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s